Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/11 23:51] ¶ |
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/13 14:53] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 2: | Строка 2: | ||
* **[[]]** | * **[[]]** | ||
</box> | </box> | ||
- | ====== Однородные уравнения ====== | + | ====== Однородные дифференциальные уравнения ====== |
Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | ||
$$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | ||
Строка 18: | Строка 18: | ||
---- | ---- | ||
- | **Пример 1.** Решить уравнение ([[общее решение дифференциального уравнения|найти общее решение дифференциального уравнения]]) | + | **Пример 1** |
+ | |||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | ${xy}'=x+2y$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>YhVBJQQyAZg |Однородные дифференциальные уравнения. Пример решения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Решить уравнение ([[общее решение дифференциального уравнения|найти общее решение дифференциального уравнения]]) | ||
$$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | ||
Строка 46: | Строка 56: | ||
, т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$ | , т.к. $C_{1}|x| = \pm C_{1}x$ , то, обозначая $\pm C_{1} = C$ , получаем $\arcsin{u} = \ln{Cx}$ | ||
Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$ | Заменяя $u$ на $\frac{y}{x}$ , будем иметь общий интеграл $\arcsin{\frac{y}{x}} = \ln{Cx} ,\;\; y = x\sin{\ln{Cx}}$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 3** | ||
+ | $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>3xO9qQ-5I7A?7 |Однородные дифференциальные уравнения }} | ||
---- | ---- | ||
<box center 60%>[[start]]</box> | <box center 60%>[[start]]</box> |