Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка [2014/12/11 17:57]
¶ создано
+++ subjects:diffury:неоднородные_линейные_уравнения_2_порядка [2014/12/15 20:30] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<box 60%|[[start]]>
+|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
-  * **[[]]**
-</box>
 ====== Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ======
@@ Строка 10: / Строка 8: @@
 ^№^Правая часть дифференциальных уравнений^Корни характеристического уравнения^Виды частного решения^
 ^ 1 |$$ P_{m}(x) $$|1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x) $$|
-^:::| ::: |2. Число 0 -- корень характеристического уравнения кратного ''S''.|$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x) $$|
+^:::| ::: |2. Число 0 -- корень характеристического уравнения кратности ''S''.|$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x) $$|
-^ 2 |$$ xe^{\alpha x} $$|1. Число $\alpha$ не является корнем характерного уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)e^{dx} $$|
+^ 2 |$$ P_{m}(x)e^{\alpha x} $$|1. Число $\alpha$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$|
-^:::| ::: |2. Число $\alpha$ является корнем характерного уравнения кратности ''S''.|$$ x^{s}\widetilde{P}_{m}(x)e^{dx} $$|
+^:::| ::: |2. Число $\alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности ''S''.|$$ x^{S}\widetilde{P}_{m}(x)e^{\alpha x} $$|
-^ 3 |$$ P_{n}(x)\cos{\beta x} + Q_{m}\sin{\beta x} $$|1. Число $\pm i\beta$ не является корнем характерного уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} $$|
+^ 3 |$$ P_{n}(x)\cos{\beta x} + Q_{m}\sin{\beta x} $$|1. Число $\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} $$|
-^:::| ::: |2. Число $\pm i\beta$ является корнем характерного уравнения кратности ''S''.|$$ x^{S}( \widetilde{P}_{n}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ) $$|
+^:::| ::: |2. Число $\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности ''S''.|$$ x^{S}( \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ) $$|
-^ 4 |$$ e^{\alpha x}[ P_{n}(x)\cos{\beta x}] + Q_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|1. Число $\alpha\pm i\beta$ не является корнем характерного уравнения.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{n}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|
+^ 4 |$$ e^{\alpha x}[ P_{n}(x)\cos{\beta x}] + Q_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|1. Число $\alpha\pm i\beta$ не является корнем характеристического уравнения.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ] $$|
-^:::| :::  |2. Число $\alpha\pm i\beta$ является корнем характерного уравнения кратности ''S''.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{n}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ]x^{S} $$|
+^:::| :::  |2. Число $\alpha\pm i\beta$ является корнем характеристического уравнения кратности ''S''.|$$ e^{\alpha x}[ \widetilde{P}_{m}(x)\cos{\beta x} + \widetilde{Q}_{m}(x)\sin{\beta x} ]x^{S} $$|
+| $ \widetilde{P}_{m}\text{ и }\widetilde{Q}_{m} $ -- многочлены старшей степени ''m'' (т.е. ''m>n'') |||||
+==== Примеры ====
+**Пример 1.**
+$$
+\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}-2y=3x-1$$
+''Решение:''
+{{ youtube>VelwBHptUoI |Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами }}
 ----
-**Пример 1.** Решить уравнение
+**Пример 2.**
+Решить уравнение
 $$ {Y}''+{y}'=4x^{2}e^{x} $$
@@ Строка 35: / Строка 43: @@
 Общее решение однородных уравнений имеет вид: $y=C_{1}+C_{2}e^{-x}$
-Правая часть уравнения $ f(x)=4xe^{x} \,,\, \alpha=1 $ , т.к. $\alpha=1$ не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (''см. табл. Случай 2/1'')
+Правая часть уравнения $ f(x)=4x^{2}e^{x} \,,\, \alpha=1 $ , т.к. $\alpha=1$ не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (''см. табл. Случай 2/1'')
 $$ \overline{y}=( A_{1}x^{2}+A_{2}x+A_{3} )e^{x} $$
@@ Строка 57: / Строка 65: @@
 ----
-**Пример 2.** Найти общее решение уравнения
+**Пример 3.**
+Найти общее решение уравнения
 $$ {y}''+{10y}'+25y=4e^{-5x} $$
 ''Решение:'' характеристическое уравнение $k^{2}+10k+25=0$ имеет двукратный корень $k_{1}=k_{2}=-5$, поэтому $y=( C_{1}+C_{2}x )e^{-5x}$ .
-Т.к. $к=-5$ является корнем характеристического уравнения кратности $s=2$, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ('' см. табл., случай 2(2) ''):
+Т.к. $к=-5$ является корнем характеристического уравнения кратности $S=2$, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ('' см. табл., случай 2(2) ''):
 $$
  \overline{y}=Ax^{2}e^{-5x}
@@ Строка 76: / Строка 86: @@
 ----
-**Пример 3** Найти частное решение уравнения
+**Пример 4**
-$$
- {y}''+{y}'-2y=\cos{x}-3\sin{x}
+Найти частное решение уравнения ([[решение задачи коши|решить задачу Коши]])
- \;;\;
+$$ {y}''+{y}'-2y=\cos{x}-3\sin{x} $$
- y(0)=1
+Начальные условия: $ y(0)=1 \;;\; {y}'(0)=2 \;; $
- \;;\;
- {y}'(0)=2
-$$
 ''Решение:''
+Характеристическое уравнение: $ k^{2}+k-2=0 $;
+Корни характеристического уравнения: $ k_{1}=1 \;;\; k_{2}=-2 $;
+Общее решение однородного уравнения: $ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x} $
+Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде (''см.таблицу''):
 $$
- k^{2}+k-2=0
- \;;\;
- k_{1}=1
- \;;\;
- k_{2}=-2
- \;;\;
- y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x}
- \\
  \overline{y}=A\cos{x} + B\sin{x}
- \;;\;
+ \;;\; \\
  \overline{{y}'}=-A\sin{x}+B\cos{x}
- \;;\;
+ \;;\; \\
  {\overline{y}}''=-A\cos{x}-B\sin{x}
 $$
 Подставляя выражения для $ y \,,\, {y}' \,,\, {y}'' $ в исходное уравнение, получаем:
@@ Строка 106: / Строка 113: @@
 $$
  \left\{\begin{matrix}
-  B-2A=1
+  B-3A=1
  \\
-  &, &A=0 &, &B=1 &; &y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x}+\sin{x}
+  &\Rightarrow &A=0 &, &B=1 &;
  \\
-B+A=3
+  -(3B+A)=-3
  \end{matrix}\right.
 $$
+Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид:
+$$ y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{x}+\sin{x} $$
-Найдем $С_1$ и $С_2$ , используя начальные условия:
+Найдем $С_1$ и $С_2$ , используя начальные условия ( $ y(0)=1 \;;\; {y}'(0)=2 $ ):
 $$
  \left\{\begin{matrix}
   C_{1}e^{0}-C_{2}e^{0}+\sin{0}=1
- \\
-  &, &C_{1}=0 &, &C_{2}=1 &; &y=e^{x}+\sin{x}
  \\
 C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}+\cos{0}=2
  \end{matrix}\right.
+ \\
+ \left\{
+ \begin{matrix}
+  C_{1}+C_{2}=1
+ \\
+  -2C_{1}+c_{2}=1
+ \end{matrix}\right.
+ \\
+ C_{1}=0 \;;\; C_{2}=1 \;;\;
 $$
+Задача Коши решена: $y=e^{x}+\sin{x}$
 ----
-**Пример 4.** Решить уравнение:
+**Пример 5.**
+Решить уравнение:
 $$ {y}'''+{y}''-{2y}'=x-e^{x} $$
@@ Строка 142: / Строка 161: @@
 $$
-т.к. ''0'' -- простой корень характеристического уравнения, т.е. ''s=1'' , то частное решение ищем в виде:
+т.к. $k_{1}=0$ -- простой корень характеристического уравнения, т.е. ''S_{1}=1'' , то частное решение ищем в виде:
 $$
  \overline{y}=x(Ax+B)+Cxe^{x}
@@ Строка 159: / Строка 178: @@
  \;;\;
  C=-\frac{1}{3}
- \\
- y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x}-\frac{1}{4}x( x+1 )-\frac{1}{3}xe^{x}
 $$
+Ответ:
+$$ y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-2x}-\frac{1}{4}x( x+1 )-\frac{1}{3}xe^{x} $$
 ----
-<box 60%>[[start]]</box>
+<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
+**[[start]]**
+  * [[Дифференциальные уравнения]]
+  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
+  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
+  * [[Решение задачи Коши]]
+  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
+  * [[Однородные уравнения]]
+  * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]]
+  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
+  * [[Уравнение Бернулли]]
+  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
+  * [[Интегрирующий множитель]]
+  * [[Понижение порядка ду]]
+  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
+  * **Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами**
+  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
+  * [[Геометрические и физические задачи]]
+</box>

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия