Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка [2014/12/11 02:42] ¶ создано |
subjects:diffury:линейные_уравнения_первого_порядка [2014/12/13 00:11] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 4: | Строка 4: | ||
====== Линейные уравнения первого порядка ====== | ====== Линейные уравнения первого порядка ====== | ||
- | Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной | + | Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное [[дифференциальные уравнения первого порядка|относительно неизвестной функции и её производной]] |
$$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$ | $$ \frac{dy}{dx} +p(x)y =Q(x) \qquad (1)$$ | ||
Строка 12: | Строка 12: | ||
$$ | $$ | ||
u \left ( | u \left ( | ||
- | \frac{dv}{dx} + Pv | + | \frac{dv}{dx} + p(x)v |
\right ) | \right ) | ||
+V\frac{du}{dx} | +V\frac{du}{dx} | ||
- | =Q | + | =Q(x) |
$$ | $$ | ||
- | Выберем ''v'' такой чтобы $\frac{dv}{dx} + Pv =0$ найдём ''u(x)'' , и следовательно и решение $y=uv$ | + | Выберем ''v'' такой чтобы $\frac{dv}{dx} + p(x)v =0$ найдём ''u(x)'' , и следовательно получим решение $y=uv$ |
---- | ---- | ||
- | **Пример 1.** [[Решение задачи Коши|Решить задачу Коши]] | + | **Пример 1** |
+ | |||
+ | Решить дифференциальное уравнение: | ||
+ | ${xy}'-2y=4x^{4}-x$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | {{ youtube>0XRUbnKznOI |Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример решения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** [[Решение задачи Коши|Решить задачу Коши]] | ||
$$ | $$ | ||
{y}'-y=-e^{-x} | {y}'-y=-e^{-x} | ||
Строка 42: | Строка 51: | ||
\frac{dv}{v}=dx | \frac{dv}{v}=dx | ||
\;;\; | \;;\; | ||
- | \ln{|v|}=e^{x} | + | \ln{|v|}=x |
+ | \;;\; | ||
+ | v=e^{x} | ||
$$ | $$ | ||
Строка 63: | Строка 74: | ||
Найдём ''C'': $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$; | Найдём ''C'': $2=\frac{1}{2}+c \,,\, c=\frac{3}{2}$; | ||
- | Итак, **решением поставленной задачи Коши** будет | + | Итак, **[[Решение задачи Коши|решением поставленной задачи Коши]]** будет |
$$ | $$ | ||
y=\frac{1}{2} \left ( | y=\frac{1}{2} \left ( |