Инструменты пользователя
subjects:diffury:интегрирующий_множитель
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия Следующая версия справа и слева | |||
|
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/11 04:55] ¶ создано |
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/12 01:12] ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 12: | Строка 12: | ||
| Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя | Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя | ||
| - | $ \frac{d}{dy}(\mu M)=\frac{d}{dx}(\mu N)$ | + | $$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$ |
| - | или | + | ( ''[[уравнение в полных дифференциалах|см.уравнение в полных дифференциалах (2)]]'' ) или |
| - | $ N\frac{d\mu}{dy}= \left ( \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} \right ) \mu $ | + | $ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $ |
| $$ | $$ | ||
| - | N\frac{d\ln{\mu}}{dx} | + | N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} |
| - | - | ||
| - | M\frac{d\ln{\mu}}{dy} | + | M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y} |
| = | = | ||
| - | \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} | + | \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} |
| \qquad (2) | \qquad (2) | ||
| $$ | $$ | ||
| Строка 27: | Строка 27: | ||
| Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель. | Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель. | ||
| - | ===== 1 ===== | + | ===== Случай 1 ===== |
| - | Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{d\mu}{dy}=0$ и уравнение (**2**) примет вид | + | Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (**2**) примет вид |
| $$ | $$ | ||
| - | \frac{d\ln{\mu}}{dx} | + | \frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} |
| =\frac{ | =\frac{ | ||
| - | \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} | + | \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} |
| }{N} | }{N} | ||
| \qquad (3) | \qquad (3) | ||
| Строка 46: | Строка 46: | ||
| $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ | $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ | ||
| имеем | имеем | ||
| - | $\frac{ \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ | + | $\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ |
| , следовательно | , следовательно | ||
| - | $\frac{d\ln{\mu}}{dx} = -\frac{2}{x}$ | + | $\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$ |
| , | , | ||
| $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ | $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ | ||
| Строка 56: | Строка 56: | ||
| Уравнение | Уравнение | ||
| $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ | $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ | ||
| - | в полных дифференциалах. | + | [[уравнение в полных дифференциалах|в полных дифференциалах]]. |
| Его можно представить в виде | Его можно представить в виде | ||
| Строка 65: | Строка 65: | ||
| $x=Ce^{y^{2}}{x}$ | $x=Ce^{y^{2}}{x}$ | ||
| - | ===== 2 ===== | + | ===== Случай 2 ===== |
| Аналогично, если | Аналогично, если | ||
| - | $\left ( \frac{dN}{dx} - \frac{dM}{dy} \right )\frac{1}{M}$ | + | $\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$ |
| есть функция только ''y'', то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''y''. | есть функция только ''y'', то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''y''. | ||
| Строка 109: | Строка 109: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям | + | Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ([[решение задачи коши|решим задачу Коши]]) |
| $$ | $$ | ||
| y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 | y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 | ||
| \\ | \\ | ||
| C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} } | C_{1}=0 \;;\; C_{2}=0 \;;\; y=ach{ \frac{x}{a} } | ||
| - | $$ | ||
| - | |||
| - | ''Замечание.'' Аналогично можно проинтегрировать уравнение | ||
| - | $$ y^{n}=f(x,y^{n-1}) $$ | ||
| - | |||
| - | **2**. Уравнение вида | ||
| - | $$ | ||
| - | \frac{d^{2}y}{dx^{2}} | ||
| - | =f \left ( | ||
| - | y, \frac{dy}{dx} | ||
| - | \right ) | ||
| - | \qquad (2) | ||
| - | $$ | ||
| - | не содержит явным образом независимой переменной ''x''. | ||
| - | |||
| - | Для его решения снова положим | ||
| - | $$ | ||
| - | \frac{dy}{dx}=p | ||
| - | \qquad (3) | ||
| - | $$ | ||
| - | но теперь будем считать ''p'' функцией от ''y'' (а не от ''x'', как прежде). Тогда | ||
| - | $$ | ||
| - | \frac{d^{2}y}{dx^{2}} | ||
| - | =\frac{dp}{dx} | ||
| - | =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} | ||
| - | =\frac{dp}{dy} \cdot p | ||
| - | $$ | ||
| - | |||
| - | Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (**2**), получим уравнение 1-ого порядка | ||
| - | $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$ | ||
| - | |||
| - | Интегрируя его, найдём ''p'' , как функцию ''y'' и производной постоянной $C_{1}$ : | ||
| - | |||
| - | Подставляя это значение в соотношение (**3**), получим | ||
| - | $$ | ||
| - | \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1}) | ||
| - | \\ | ||
| - | \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx | ||
| - | $$ | ||
| - | |||
| - | Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения | ||
| - | $$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$ | ||
| - | ---- | ||
| - | **Пример 3.** Найти общий интеграл уравнения | ||
| - | $$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$ | ||
| - | |||
| - | ''Решение.'' Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$ | ||
| - | $$ | ||
| - | x\frac{dp}{dx}=p | ||
| - | \\ | ||
| - | \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} | ||
| - | \\ | ||
| - | \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|} | ||
| - | \\ | ||
| - | p=C_{1}x | ||
| - | $$ | ||
| - | |||
| - | Возвратимся к переменной ''y'': ${y}'=C_{1}x$ | ||
| - | $$ | ||
| - | y= | ||
| - | \int C_{1}xdx= | ||
| - | C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| ---- | ---- | ||
| <box 60%>[[start]]</box> | <box 60%>[[start]]</box> | ||
subjects/diffury/интегрирующий_множитель.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:28 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
