Уравновешенная система сил

Необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента системы:

$$ \vec{R_0} = 0 \\ M_0 = 0 $$

Из этого условия следуют уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

1. Первая форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum X=0 \\ \sum Y=0 $$
2. Вторая форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.
3. Третья форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, эти три формы эквивалентны условию равновесия равновесия плоской системы сил и наоборот.

В самом деле, условие $\vec{R_0} = 0$ означает, что $|\vec{R_0}| = R_0 = 0$ . Поэтому с учетом «Теорема о приведении плоской системы сил» : $R_0^2 = (\sum X)^2 + (\sum Y)^2 = 0$ , откуда и следуют два последних уравнения «необходимого и достаточного условия равновесия плоской системы сил».

Первое из уравнений (первая форма) получается из условия равенства нулю главного момента, если в качестве центра приведения взять точку А.

Докажем теперь, что уравнения второй формы эквивалентны условиям равновесия плоской системы сил.

Первое из уравнений второй формы будет выполняться в двух случаях:

1. система сил, приложенных к ТТ, уравновешена и ее равнодействующая равна нулю;
2. равнодействующая сил, приложенных к ТТ, отлична от нуля, при этом ее линия действия проходит через точку А.

Пусть одновременно выполняются два первых уравнения системы (вторая форма). Это по-прежнему возможно в двух случаях:

1. равнодействующая $\vec{R} = 0$;
2. равнодействующая $\vec{R} \neq 0$ и ее линия действия одновременно проходит через точки А и В.

Если в дополнение к этим двум уравнениям выполняется и третье уравнение второй формы, то это означает, что $R_y = \sum Y_i = 0$ .

При условии, что $\vec{R}$ неперпендикулярна этой оси – отсюда будет следовать, что $\vec{R} = 0$ , то есть система сил уравновешена.

Аналогично можно доказать, что условия равновесия равновесия плоской системы сил будут следовать из уравнений первой или третьей форм.

• В частном случае для плоской системы сходящихся или параллельных сил уравнения в системах трёх форм будут линейно зависимы. Это означает, что определитель системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций таких систем сил становится равным нулю.
  Например, для системы сил параллельных оси Oy уравнения первой формы станут линейно зависимыми вследствие того, что второе из уравнений этой системы обратится в тождество, которое выполняется как для уравновешенных, так и для неуравновешенных систем.
  Такие уравнения исключают из системы, уменьшая тем самым общее число уравнений для плоской системы сходящихся или параллельных сил с трех до двух.
• В соответствии с предыдущим замечанием уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oy, можно записать в двух формах:
  1. Первая форма:
     $$\sum M_A=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy неперпендикулярна силам системы.
  2. Вторая форма:
     $$\sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 $$ , где отрезок АВ непараллелен силам системы.
• Таким образом, если при рассмотрении произвольной плоской системы сил выяснится, что она в действительности является системой сходящихся или параллельных сил, можно упростить решение задачи, воспользовавшись вместо «уравнения равновесия плоской системы сил» системой из предыдущего пункта – для параллельных или $ \sum X_i = 0 \;;\; \sum Y_i = 0 $ — для сходящихся сил.