Теорема 1. Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной
силой $\vec{R_0}$ – главным вектором системы, приложенным в центре приведения и
равным геометрической сумме всех сил системы, и главным моментом системы
$\vec{M_0}$ , величина которого равна алгебраической сумме моментов всех сил системы
относительно выбранного центра приведения.
Доказательство. Рассмотрим произвольную плоскую систему сил: $(\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n})$ .
Воспользовавшись леммой Пуансо приведем каждую силу системы $\vec{P_i}$ к центру О, заменив ее приведенной силой $\vec{P_i'}$ и присоединенной парой, эквивалентной моменту $\vec{M_i}$ , величина которого равна моменту силы $\vec{P_i}$ относительно выбранного центра приведения:
$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim ((\vec{P_1'}, \vec{P_2'}, \dots, \vec{P_n'}), (\vec{M_1}, \vec{M_2}, \dots, \vec{M_n}))$$
Приведенные силы, приложенные в центре приведения О, образуют систему сходящихся сил, которые согласно теореме «Графическое определение равнодействующей сходящихся сил» можно заменить равнодействующей $\vec{R_0}$ . При этом
$$(\vec{P_1'}, \vec{P_2'}, \dots, \vec{P_n'}) \sim \vec{R_0} = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i'} = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i}$$
Совокупность присоединенных моментов, эквивалентных присоединенным парам, в соответствии с теоремой «сложения пар сил» можно заменить моментом, величина которого равна алгебраической сумме присоединенных моментов:
$$ (\vec{M_1}, \vec{M_2}, \dots, \vec{M_n}) \sim \vec{M_0} \\ M_0 = \sum_{i=1}^{i=n}M_n = \sum_{i=1}^{i=n}M_0 (\vec{P_i}) $$
Таким образом, первоначальная система сил будет эквивалентна:
$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim (\vec{R_0} , \vec{M_0})$$
, где $\vec{R_0} = \sum_{i=1}^{i=n}\vec{P_i}$ – главный вектор системы, а $M_0 =\sum_{i=1}^{i=n}M_0(\vec{P_i})$ – главный момент системы относительно центра О.
Отметим, что модуль главного вектора плоской системы сил находится по формуле из «Аналитическое определение равнодействующей сходящихся сил» :
$$R_O=\sqrt{(\sum X_i)^2+(\sum Y_i)^2}$$
, где Xi , Yi – проекции силы $\vec{P_i}$ на оси координат.