Решение задач

При решении задач по статике рекомендуется придерживаться следующего плана:

1. выбрать тело, равновесие которого будем рассматривать;
2. приложить к нему активные силы;
3. отбросить связи, заменив их неизвестными опорными реакциями;
4. определить эти реакции аналитически, используя уравнения равновесия или графически, используя условие замкнутости силового многоугольника;
5. проверить правильность решения задачи.

Определить реакции стержней, соединенных шарниром В, если к нему подвешен груз весом Q (Рис.1а).

Рис.1

В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая равна весу тела: T = Q (Рис.б).

Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В. Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила $\vec{Q}$ и реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}$ и $\vec{S_C}$ (Рис.1в).

Выбирая начало отсчета в точке В, составим уравнения равновесия, которые в этой задаче примут вид:

$$ -S_A \cdot \cos \alpha + S_C \cdot \cos \beta = 0; \\ S_A \cdot \sin \alpha + S_C \cdot \sin \beta = Q. $$

Чтобы найти отсюда S_C сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на $\sin \alpha$, а второе –- на $\cos \alpha$:

$$S_C\cdot(\sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta) = Q\cdot\cos\alpha$$

Отсюда следует, что $S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$, а поскольку $\alpha\text{ и }\beta$ в эти уравнения входят симметрично, то $S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$.

Задача решена. Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом.

Треугольник, образованный из трех сил: $\vec{Q},\, \vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ должен быть замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной стороне (Q) и направлению двух других сторон (S_A и S_C). Для этого нужно в масштабе построить вектор Q, а затем из начала и из конца этого вектора провести прямые, параллельные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ до их пересечения (Рис.1г).

Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Можно, впрочем, определить величину S_A и S_C и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник.

С этой целью воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{Q}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{S_A}{\sin(\frac{\pi}{2} - \beta)} = \frac{S_C}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$$

, откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:

$$ S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} \\ S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)} $$

То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, значит задача решена правильно.

Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи двух стержней, соединенных шарнирно в точке В. Через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом Q (Рис.2а). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.

Рис.2

Рассмотрим равновесие блока В, к которому приложены силы натяжения нитей $\vec{T_1}\text{ и }\vec{T_2}$ и реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_С}$, которые, как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (Рис.2б).

Фактически в качестве активной силы выступает вес груза Q, который приложен к блоку с помощью нити, поэтому $\vec{T_1} = \vec{Q}$. По поводу силы $\vec{t_2}$ надо отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому $Т_1 = Т_2 = Q$.

Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему сходящихся сил, приложенных в точке В (Рис.2в).

Определим реакции S_A и S_С аналитически. Отметим, что если в первое из уравнений равновесия входят оба неизвестных, то в уравнение $\sum Y_i = 0$ неизвестная реакция S_С не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с этого уравнения:

$$S_A\cdot\cos{30^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{60^{\circ}} - Т_1 = 0$$

Подставляя сюда значения тригонометрических функций и $Т_1=Т_2=Q$ , получим:

$$S_A\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Q}{2}$$

, откуда $S_A = Q\cdot\frac{sqrt{3}}{3}$.

Теперь вернемся к уравнению $\sum X_i = 0$:

$$ -S_A\cdot\cos{60^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{30^{\circ}} + S_C = 0 \\ \text { или } \\ S_С = \frac{S_A}{2} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $$

Подставив найденное выше значение S_A, получим:

$$S_С = Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{6} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$$

При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не растянут, как мы предполагали, а сжат.

Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные силы Т₁ и Т₂, затем от начала первого и от конца последнего вектора проводим прямые, параллельные S_A и S_С до их пересечения (Рис.2г).

Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось симметрии и $|\vec{S_A}| = |\vec{S_C}|$. При этом направление вектора $\vec{S_C}$ на силовом многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на чертеже, то есть стержень ВС не растянут, а сжат.

• В системе уравнений равновесия оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось Ох, совпадающую по направлению с силой Т₂ ,мы получим систему уравнений, из которых неизвестные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ находятся независимо одно от другого.
• Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным.