Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа.
a₁ – первый член арифметической прогрессии
d – разность арифметической прогрессии: $d = a_{n+1} - a_n$
n – число членов арифметической прогрессии
a_n – n-ый член арифметической прогрессии
S_n – сумма n первых членов арифметической прогрессии

• $a_n = a_1 + d(n-1);$
• $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n;$
• $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n;$
• $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}, k = 2, 3, \dots, n-1;$
• $a_k + a_m = a_p + a_q\text{ , где }k+m=p+q;$

Пример 1. Второй член арифметической прогрессии равен 6, а восьмой член - 42. Найдите разность этой прогрессии.

Решение: $$ \left\{\begin{matrix} a_2 = a_1 + d = 6 \\ a_8 = a_1 + 7d = 42 \end{matrix}\right. $$ Отсюда: 6d=42-6=36; d=6.

Ответ: 6.

Пример 2. Найти $a_1$ и d арифметической прогрессии, если: $a_7 = 21\,,\,S_7=205$.

Решение: Т.к. $S_7=\frac{a_1+a_7}{2}\cdot 7$ (по формуле суммы 7 первых членов арифметической прогрессии), то $205=\frac{a_1+21}{2}\cdot 7$ ;

Отсюда находим первый член арифметической прогрессии:
$410 = 7а_1 + 147;$
$7a_1 = 263.$

Тогда $a_1=37\frac{4}{7}$.

Т.к. $а_7 = a_1 + 6d\text{ , то }21 = 37\frac{4}{7} + 6d$;

Отсюда находим разность арифметической прогрессии:
$6d = -16\frac{4}{7};$
$d = -\frac{58}{21}$
Итак, $d=-2\frac{16}{21}$

Ответ: $а_1 = 37\frac{4}{7};\; d = -2\frac{16}{21}$

Пример 3. Решите уравнение 1 + 6 + 11 + 16 + … + x = 235.

Решение: Левая часть уравнения представляет собой сумму какого-то числа членов арифметической прогрессии с $a_1=1;\; d=5$. $$ \\ x - a_1 = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)\cdot 5 = 5n - 4 \Rightarrow n = \frac{x+4}{5}. \\ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{1+x}{2}\cdot \frac{x+4}{5} = 235 \\ x^2 + 5x + 4 = 2350; \\ x^2 + 5x - 2346 = 0; \\ D = 25 + 4 \cdot 2346 = 9409 = 97^2; \\ x = \frac{-5 \pm 97}{2} \Rightarrow х = 46\text{ (т.к. }x>0). $$ Ответ: 46.

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: −4 ; −2 ; 0…. Найдите сумму первых десяти её членов.

Видео-решение.