Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.
Решение треугольников
Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.
 |
Пример 1. В треугольнике даны сторона $\alpha = 5$ и два угла $\beta = 30°\,; \gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $\alpha$ находим: $$ \alpha = 180° - \beta - \gamma = 180° - 30° - 45° = 105° $$ Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: $$ b = a \bullet \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,500}{0,966} \approx 2,59 \\ c = a \bullet \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,707}{0,966} \approx 3,66 $$
Пример 2. В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $\gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов $$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\bullet \cos \gamma} = \sqrt{144 + 64 - 2 \bullet 12 \bullet 8 \bullet 0,500 } = \sqrt{112} \approx 10,6 $$ Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $\cos \alpha$ и сам угол $\alpha$ и, значит, угол $\beta$ : $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0,189 \\ \text{откуда } \alpha \approx 79°\,; \\ \beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 180° - 79° - 60° = 41° $$
Пример 3. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $\alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме синусов имеем: $$ \sin \beta = \frac{b}{a} • \sin \alpha = \frac{8}{6} • \sin 30° = \frac{8}{6} • \frac{1}{2} \approx 0,667 $$
Этому значению синуса соответствуют два угла: $\beta _1 \approx 42°\text{ и }\beta _2 \approx 138°$ .
Рассмотрим сначала угол $\beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ \gamma _1 = 180° - \alpha - \beta \approx 108°$ и по теореме синусов третью сторону: $$ c = \frac{a \sin \gamma _1}{\sin \alpha} \approx 6 \bullet \frac{\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 6 \bullet \frac{0,951}{0,500} \approx 11,4 $$ Аналогично по углу $ \beta _2 \approx 138°$ находим $\gamma _2 \approx 12°\text{ и }c_2 \approx 2,49$ .
Примечание. Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных, например при $\alpha \geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь.
Пример 4. Даны три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.
Решение. Углы находятся по теореме косинусов: $$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7}{8} = 0,875 $$ , откуда $\alpha \approx 29°$ .
Аналогично находится $\cos \beta = 0,688$ , откуда $\beta \approx 47°\text{ и }\gamma \approx 180° - 47° - 29° = 104°$ .
|