Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке $ $ называется предел интегральных сумм:
$$ $$
Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке $ $. Всякая непрерывная функция интегрируема.
Формулой Ньютона -Лейбница называется формула
$$ $$,
где f(x) - одна из первообразных для функции f(x), т.е.
$$ $$
Замечание. вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона- Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения. Эта формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке $ $ функции f(x) лишь тогда, когда равенство $ $ выполняется на всем отрезке $ $(F(x)- первообразная функции f(x)). В частности, первообразная обязана быть непрерывной функцией на всем отрезке $ $. Использование в качестве первообразной разрывной функции может привести к неверному результату.
Если функция $ $ удовлетворяет следующим условиям:
1) $ $- непрерывная однозначная функция, заданная на отрезке $ $ и имеющая в нем непрерывную производную $ $;
2) значения функции $ $ при изменении t на отрезке $ $ не выходят за пределы отрезка $ $;
3) $ $ и $ $,
то для любой непрерывной на отрезке $ $ функции f(x) справедлива формула замены переменной (или подстановки) в определённом интеграле
$$ $$.
Видео урок :Определенный интеграл. Основные формулы.