Одночлены, многочлены

Одночленом называется выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней.

Например, выражения 2а²b ; 2х²•(-4)³yz² ; -5x⁴ - одночлены.

Стандартный вид одночлена - это произведение числового множителя, который стоит на первом месте, и степеней различных переменных.

Например, стандартным видом одночлена (—2)³x⁴y•(—3) является 24х²у.

Коэффициент одночлена - это числовой множитель этого одночлена, записанного в стандартном виде.

Степень одночлена - это сумма показателей степеней всех его переменных. Если одночлен является числом (не содержит переменных), то его степень считают равной нулю.

Многочлен - это выражение, являющееся суммой одночленов (если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трех - трехчленом).

Стандартный вид многочлена - это сумма одночленов стандартного вида без подобных слагаемых. Наибольшая из степеней одночленов, входящих в многочлен стандартного вида, называется степенью этого многочлена.

Степенью произвольного многочлена называется степень многочлена стандартного вида, тождественно равного исходному многочлену.

Для того, чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

Разложить многочлен на множители означает представить этот многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов.

1. $(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2$
2. $(a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
3. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
4. $a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab + b^2)$

Пример 1. Приведите одночлен $2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b$ к стандартному виду, назовите его коэффициент и степень.

Решение:
$2а^2\cdot (-3)^2b^3\cdot а\cdot а(-2)b = 2\cdot 9\cdot (-2)а^2\cdot а\cdot b^3\cdot b = -36a^3b^4$. Коэффициент данного одночлена равен (-36), а его степень равна 4.

Ответ: -36a³b⁴; - 36; 4.

Пример 2. Упростите выражение $2х(х-3)^2 - (х-1)(2х^2+2)$.

Решение:
$2х(х-3)^2 - (х-1)(2х^2+2) = 2х(х^2-6х+9) - (2х^3+2х-2х^2-2) =$
$= 2х^3-12х^2+18x-2x^3+2x^2-2х+2 = 16x + 2 - 10x^2 = -10x^2+16x+2$

Ответ: -10x²+16x+2.

Пример 3. Разложите на множители многочлен $x^3 - 8y^2 + 2х^2у + 4ху^2 + 8у - 5x$.

Решение:
$x^3 - 8y^2 + 2х^2у + 4ху^2 + 8у - 5x =$
$= (х - 2у)(х^2 + 2ху + 4) + 2у(х^2 + 2ху + 4) - 5x =$
$= (х - 2у + 2у)(х^2 + 2ху + 4) - 5х =$
$= х(х^2 + 2ху + 4 - 5) =$
$= х(х^2 + 2ху - 1)$

Ответ: х(х² + 2ху - 1).

Пример 4. Упростите выражение $(2-c)^2-c(c+4)$ , найдите его значение при c = 0,5.

Видео-решение: