Уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где x - переменная, а, b, с – некоторые числа, причем a ≠ 0 , называется квадратным уравнением.
Квадратное уравнение с а = 1 (то есть уравнение вида $х^2 + bx + с = 0$) называется приведенным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения (хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю):
В общем виде квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$
Выражение $D = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Полезно помнить следующую формулу разложения на множители: $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)\cdot(x-x_2)$
Теорема Виета:
Если $x_1$ и $х_2$ - корни приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ , то $x_1+x_2=-p\;;\;x_1\cdot x_2=q$.
Обратная теорема Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1+x_2=-p\;;\;x_1\cdot x_2=q$ , то эти числа являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$.
Пример 1. Решите уравнение $х^2 - 2х - 3 = 0$.
Решение: $$ D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 \\ x_{1,2} = \frac{-(-2)\pm\sqrt{4^2}}{2\cdot 1} = \frac{2\pm 4}{2} \\ x_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \\ x_2 = \frac{2+4}{2} = 3 $$
Ответ:
- 1; 3.
Пример 2. Найдите сумму квадратов корней уравнения $х^2 + 5х + 1 = 0$.
Решение: Пусть $x_1$ и $x_2$ - корни данного квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета $х_1 + х_2 = - 5; х_1 \cdot х_2 = 1$. $$x_1^2+x_2^2 = x_1^2 +2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \\ = (-5)^2 - 2\cdot 1 = 25 - 2 = 23 $$
Ответ:
23.
Пример 3. Решите уравнение $$\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = 2$$
Решение: $$\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x+1}{x-2} = \frac{(2x+1)(x-2) - (x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \\ = \frac{2x^2-3x-2-x^2+1}{x^2-3x+2} = \frac{x^2-3x-1}{x^-3x+2}; \\ \frac{x^2-3x-1}{x^-3x+2} = 2; \\ x^2-3x-1 = x^-3x+4; \\ x^2-3x+5=0 \\ D=9-4\cdot 5 = -11 < 0 \Rightarrow \text{ уравнение не имеет корней.} $$
Ответ:
нет корней.
Пример 4 Найдите корни уравнения: $x^2+7x-18=0$
Видео-решение: