Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:43]
¶
+++ subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:47] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+<box right 30%|[[start]]>
+  * **[[Отрезок, луч, угол]]**
+    * [[Отрезок]]
+    * [[Луч и полуплоскость]]
+    * [[Угол]]
+    * [[Измерение отрезков]]
+    * [[Измерение углов]]
+    * **Смежные и вертикальные углы**
+  * [[Треугольники - Геометрия]]
+</box>
+====== Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые ======
+Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:сумма_смежных_углов_равна_180_.png?200|Геометрия ГИА, Сумма смежных углов равна 180°}}
+\\ Сумма смежных углов равна 180°
+</box|Рис.1>
+**''Теорема 1.'' Сумма смежных углов равна 180°.**
+''Доказательство.'' Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ** ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° **.
+Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:вертикальные_углы_равны.png?200|Геометрия ГИА, Вертикальные углы равны}}
+\\ Вертикальные углы равны
+</box|Рис.2>
+Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
+**''Теорема 2.'' Вертикальные углы равны.**
+''Доказательство.'' Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1
+∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
+Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
+**''Следствие 1.'' Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.**
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:прямые_ас_и_bd_перпендикулярные.png?200|Геометрия ГИА, Прямые АС и BD перпендикулярные}}
+\\
+</box|Рис.3>
+Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
+Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:ан_перпендикуляр_к_прямой.png?200|Геометрия ГИА, АН — перпендикуляр к прямой}}
+\\ АН — перпендикуляр к прямой
+</box|Рис.4>
+Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:чертежный_угольник.png?200|Геометрия ГИА, Чертежный угольник}}
+\\ Чертежный угольник
+</box|Рис.5>
+Справедлива следующая теорема.
+**''Теорема 3.'' Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.**
+Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
+''Замечание.'' Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.
+Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
+----
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+**Пример 1.** Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
+**//Решение.//** Обозначим градусную меру другого угла через ''x'', тогда согласно теореме 1.
+\\ 44° + х = 180°.
+\\ Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
+----
+**Пример 2.** Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
+**//Решение.//** Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
+\\ ∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
+----
+**Пример 3.** Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
+**//Решение.//** Обозначим градусную меру меньшего угла через ''х''. Тогда градусная мера большего угла будет ''Зх''. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°,  откуда х = 45°.
+\\ Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
+----
+**Пример 4.** Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
+**//Решение.//** Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
+АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
+\\ ∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
+====== Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5 ======
+В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.
+Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
+{{ youtube>JP-5AvwSJhA?medium |Отыскание смежных углов треугольника.}}
+====== Рекомендуем ======
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+|[[Измерение углов|← ]][[Измерение углов]]^[[subjects:geometry:]]|[[Треугольник и его элементы]][[Треугольник и его элементы| →]]|

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия