Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:43] ¶ |
subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:47] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | <box right 30%|[[start]]> | ||
+ | * **[[Отрезок, луч, угол]]** | ||
+ | * [[Отрезок]] | ||
+ | * [[Луч и полуплоскость]] | ||
+ | * [[Угол]] | ||
+ | * [[Измерение отрезков]] | ||
+ | * [[Измерение углов]] | ||
+ | * **Смежные и вертикальные углы** | ||
+ | * [[Треугольники - Геометрия]] | ||
+ | </box> | ||
+ | ====== Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые ====== | ||
+ | |||
+ | Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные. | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:сумма_смежных_углов_равна_180_.png?200|Геометрия ГИА, Сумма смежных углов равна 180°}} | ||
+ | \\ Сумма смежных углов равна 180° | ||
+ | </box|Рис.1> | ||
+ | **''Теорема 1.'' Сумма смежных углов равна 180°.** | ||
+ | |||
+ | ''Доказательство.'' Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ** ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° **. | ||
+ | |||
+ | Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. | ||
+ | |||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:вертикальные_углы_равны.png?200|Геометрия ГИА, Вертикальные углы равны}} | ||
+ | \\ Вертикальные углы равны | ||
+ | </box|Рис.2> | ||
+ | Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2). | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 2.'' Вертикальные углы равны.** | ||
+ | |||
+ | ''Доказательство.'' Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 | ||
+ | ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°. | ||
+ | |||
+ | Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD. | ||
+ | |||
+ | **''Следствие 1.'' Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.** | ||
+ | |||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:прямые_ас_и_bd_перпендикулярные.png?200|Геометрия ГИА, Прямые АС и BD перпендикулярные}} | ||
+ | \\ | ||
+ | </box|Рис.3> | ||
+ | Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD. | ||
+ | |||
+ | Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. | ||
+ | |||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:ан_перпендикуляр_к_прямой.png?200|Геометрия ГИА, АН — перпендикуляр к прямой}} | ||
+ | \\ АН — перпендикуляр к прямой | ||
+ | </box|Рис.4> | ||
+ | Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра. | ||
+ | |||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:чертежный_угольник.png?200|Геометрия ГИА, Чертежный угольник}} | ||
+ | \\ Чертежный угольник | ||
+ | </box|Рис.5> | ||
+ | Справедлива следующая теорема. | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 3.'' Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.** | ||
+ | |||
+ | Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5). | ||
+ | |||
+ | ''Замечание.'' Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны. | ||
+ | |||
+ | Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны». | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 1.** Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой? | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Обозначим градусную меру другого угла через ''x'', тогда согласно теореме 1. | ||
+ | \\ 44° + х = 180°. | ||
+ | \\ Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС? | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1. | ||
+ | \\ ∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 3.** Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Обозначим градусную меру меньшего угла через ''х''. Тогда градусная мера большего угла будет ''Зх''. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°. | ||
+ | \\ Значит, смежные углы равны 45° и 135°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 4.** Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол | ||
+ | АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1 | ||
+ | \\ ∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°. | ||
+ | |||
+ | ====== Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5 ====== | ||
+ | В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. | ||
+ | |||
+ | Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах. | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>JP-5AvwSJhA?medium |Отыскание смежных углов треугольника.}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====== Рекомендуем ====== | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[Измерение углов|← ]][[Измерение углов]]^[[subjects:geometry:]]|[[Треугольник и его элементы]][[Треугольник и его элементы| →]]| |