Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:признаки_равенства_треугольников

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:признаки_равенства_треугольников [2013/07/26 23:31]
subjects:geometry:признаки_равенства_треугольников [2013/10/12 01:45] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Треугольники - Геометрия]]**
 +    * [[Треугольник и его элементы]]
 +    * **Признаки равенства треугольников**
 +    * [[Свойства равнобедренного треугольника]]
 +</​box>​
 +====== Признаки равенства треугольников ======
 +<box 420px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abc_a1b1c1.png?​400|Геометрия,​ Признаки равенства треугольников}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Два треугольника называются равными,​ если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся,​ т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.
  
 +Таким образом,​ если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим,​ что **в равных треугольниках против соответственно равных сторон** (т. е. совмещающихся при наложении) **лежат равные углы,** и обратно:​ **против соответственно равных углов лежат равные стороны.**
 +
 +Так, например,​ в равных треугольниках ABC и A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ лежат равные углы С и С<​sub>​1</​sub>​. Равенство треугольников ABC и А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​ будем обозначать так: Δ ABC = Δ А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​.
 +Оказывается,​ что равенство двух треугольников можно установить,​ сравнивая некоторые их элементы. ​
 +
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_and_c1b1a1.png?​300|Признаки равенства треугольников,​ геометрия ЕГЭ и ГИА}}
 +</​box|Рис.2>​
 +**''​Теорема 1.''​** __Первый признак равенства треугольников.__ **Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,​ то такие треугольники равны** (рис.2).
 +
 +''​Доказательство.''​ Рассмотрим треугольники ABC и A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ у которых АВ = A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>,​ АС = A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ ∠ А = ∠ А<​sub>​1</​sub>​ (см. рис.2). Докажем,​ что Δ ABC = Δ A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​.
 +
 +Так как ∠ А = ∠ А<​sub>​1</​sub>,​ то треугольник ABC можно наложить на треугольник А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​ так, что вершина А совместится с вершиной А<​sub>​1</​sub>,​ а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ и A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​. Поскольку АВ = A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>,​ АС = А<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>,​ то сторона АВ совместится со стороной А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ а сторона АС — со стороной А<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>;​ в частности,​ совместятся точки В и В<​sub>​1</​sub>,​ С и C<​sub>​1</​sub>​. Следовательно,​ совместятся стороны ВС и В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​. Итак, треугольники ABC и А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​ полностью совместятся,​ значит,​ они равны. ​
 +
 +Аналогично методом наложения доказывается теорема 2. 
 +
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_and_c1b1a1_2.png?​300|Признаки равенства треугольников,​ ГИА, ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.3>​
 +**''​Теорема 2.''​** __Второй признак равенства треугольников.__ **Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника,​ то такие треугольники равны** (рис. 34).
 +
 +''​Замечание.''​ На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.
 +
 +**''​Теорема 3.''​ Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.**
 +
 +Из последней теоремы вытекает теорема 4.
 +
 +**''​Теорема 4.''​ Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.**
 +
 +**''​Теорема 5.''​** __Третий признак равенства треугольников.__ **Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого ​
 +треугольника,​ то такие треугольники равны** ([[Свойства равнобедренного треугольника|подробнее]]).
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** В треугольниках ABC и DEF (рис. 4) 
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_and_edf.png?​300|Признаки равенства треугольников}}
 +</​box|Рис.4>​
 +∠ А = ∠ Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = 18 см, EF = 20 см. 
 +Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В? 
 +
 +**//​Решение.//​** Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС. 
 +
 +----
 +**Пример 2.** Отрезки АВ и CD (рис. 5) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м?
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acobd_1.png?​200|Геометрия ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.5>​
 +
 +**//​Решение.//​** Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку):​ ∠ АОС = ∠ BOD (вертикальные),​ АО = ОВ, СО = OD (по условию). ​
 +\\ Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон,​ т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6 м. 
 +
 +----
 +**Пример 3.** В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 4) АВ = EF, ∠A = ∠E, ∠B = ∠F.
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acb_and_edf.png?​300|Признаки равенства треугольников}}
 +</​box|Рис.4>​
 +Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА? 
 +
 +**//​Решение.//​** Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В). 
 +
 +----
 +**Пример 4.** На рисунке 6 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acdb_1.png?​200|Геометрия ГИА}}
 +</​box>​
 +
 +**//​Решение.//​** Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно,​ треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м. 
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Треугольник и его элементы|← ]][[Треугольник и его элементы]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Свойства равнобедренного треугольника]][[Свойства равнобедренного треугольника| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Признаки подобия треугольников|3 признака подобия треугольников]]|||
 +|[[Зависимости прямоугольного треугольника]]|||
subjects/geometry/признаки_равенства_треугольников.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:45 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты