Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:признаки_подобия_треугольников

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:признаки_подобия_треугольников [2013/07/27 00:50]
subjects:geometry:признаки_подобия_треугольников [2013/10/12 02:12] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Подобие - Геометрия]]**
 +    * [[Определение подобных треугольников]]
 +    * **Признаки подобия треугольников**
 +    * [[Подобие произвольных фигур]]
 +</​box>​
 +====== Признаки подобия треугольников ======
 +**''​Теорема 1.''​** __Первый признак подобия треугольников.__ **Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого,​ то такие  ​
 +треугольники подобны.**
  
 +''​Доказательство.''​ Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники,​ у которых $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , и, следовательно,​ $\angle C = \angle C_1$ . Докажем,​ что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).
 +<box 420px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a_a1_b_b1_abc_a1b1c1_132.png?​400|Репетитор ГИА ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую,​ параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1\text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению,​ $\angle В = \angle В_1$ по условию и $\angle А_1 = \angle А_2$ , так как $\angle А_1 = \angle А$ по условию и $\angle А = \angle А_2$ как соответственные углы. По [[определение_подобных_треугольников|лемме 1]] о подобных треугольниках имеем: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , и значит,​ $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.
 +
 +По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.
 +
 +**''​Теорема 2.''​** __Второй признак подобия треугольников.__ **Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами  ​
 +равны, то треугольники подобны.**
 +
 +**''​Теорема 3.''​** __Третий признак подобия треугольников.__ **Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника,​ то такие треугольники подобны.**
 +
 +Из теоремы 1 вытекает следующее.
 +
 +''​Следствие 1. **В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам,​ т. е. тем высотам,​ которые опущены на сходственные стороны.**''​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Подобны ли два равносторонних треугольника?​
 +
 +**//​Решение.//​** Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° ([[теорема_о_сумме_углов_треугольника|следствие 3]]), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.
 +
 +----
 +**Пример 2.** В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно,​ что $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.
 +
 +**//​Решение.//​** Треугольники,​ определенные условием задачи,​ подобны по первому признаку подобия.
 +Из подобия треугольников следует:​
 +$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \,\,\, (1) $$
 +Подставив в равенство (1) данные из условия задачи,​ получим:​
 +$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1} = \frac{AC}{8} \,\,\, (2) $$
 +Из равенства (2) составим две пропорции ​
 +$$ \frac{5}{10} = \frac{7}{B_1C_1}
 +\\ \frac{5}{10} = \frac{AC}{8}
 +\\ \text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м).
 +$$
 +----
 +**Пример 3.** Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м. 
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.
 +<box 420px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abc_a1b1c1_133.png?​400|Признаки подобия треугольников}}
 +</​box|Рис.2>​
 +Из условия задачи:​
 +$$ 1) \angle B = \angle B_1 ;
 +\\ 2) \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = 2,5
 +\\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 м.
 +$$
 +Следовательно,​ $\triangle ABC \sim \triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует
 +$$ \frac{AC}{A_1C_1} = 2,5\text{ , или }АС = 2,5\bullet А_1С_1 $$
 +Так как АС = 2,5 • А<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>,​ то АС + А<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ = 2,5 • А<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>​ + A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ = 4,2, откуда A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ = 1,2 (м), АС = 3 (м). 
 +
 +----
 +**Пример 4.** Подобны ли треугольники ABC и А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​С<​sub>​1</​sub>,​ если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ = 4,5 см, B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ = 7,5 см, A<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ = 10,5 см?
 +
 +**//​Решение.//​** Имеем: ​
 +$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4,​5} = \frac{1}{1,​5}
 +\\ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{5}{7,​5} = \frac{1}{1,​5}
 +\\ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{7}{10,​5} = \frac{1}{1,​5}
 +$$
 +Следовательно,​ треугольники подобны по третьему признаку.
 +
 +----
 +**Пример 5.** Доказать,​ что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
 +
 +**//​Решение.//​** Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1\text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ab1ca1bc1o_134.png?​200|Подготовка и репетиторство по математике к ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $\angle 1 = \angle2 \text{ и } \angle 3 = \angle 4 $. Следовательно,​ треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит,​ их стороны пропорциональны:​
 +$$ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} $$
 +
 +Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .
 +
 +Аналогично доказывается,​ что точка пересечения медиан $BB_1\text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины,​ и, следовательно,​ совпадает с точкой О.
 +
 +Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
 +
 +''​Замечание.''​ Ранее отмечалось,​ что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается,​ что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются ''​замечательными точками треугольника''​.
 +----
 +**Пример 6.** Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён,​ если настройки проектора остаются неизменными.
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​1b7U06YVheE |диаметр основания конуса}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Определение подобных треугольников|← ]][[Определение подобных треугольников]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Подобие произвольных фигур]][[Подобие произвольных фигур| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Зависимости прямоугольного треугольника]]|||
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=1b7U06YVheE&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Подобные треугольники]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/признаки_подобия_треугольников.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:12 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты