Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/07/26 23:42]
¶
+++ subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/10/12 01:51] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+<box right 30%|[[start]]>
+  * **[[Параллельные прямые]]**
+    * [[Определение параллельных прямых]]
+    * **Признаки параллельности двух прямых**
+  * [[Сумма углов треугольника]]
+</box>
+====== Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых ======
+<box 260px>
+{{:subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых_55.png?240|Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых}}
+Признаки параллельности двух прямых
+</box|Рис.1>
+**''Теорема 1.'' Если при пересечении двух прямых секущей:**
+  - **накрест лежащие углы равны, или**
+  - **соответственные углы равны, или**
+  - **сумма односторонних углов равна 180°, то**
+**прямые параллельны** (рис.1).
+Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.
+Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
+Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это  противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
+''Следствие 1''. **Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны** (рис.2).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:apb_56.png?200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}}
+</box|Рис.2>
+''Замечание.'' Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное)
+тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
+----
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+**Задача 1.** Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
+**//Решение.//** Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:bmpa_57.png?200|Подготовка к геометрии, справочник}}
+</box|Рис.3>
+Затем проводим через точку М прямую b
+перпендикулярно прямой р. Прямая b
+параллельна прямой а согласно следствию из
+теоремы 1.
+Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
+\\ **через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной**.
+Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
+''Аксиома параллельных прямых.'' **Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.**
+Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.
+) ''Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую'' (рис.4).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:abmc_58.png?200|Подготовка к геометрии}}
+</box|Рис.4>
+) ''Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны'' (рис.5).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:a-b-c-_59.png?200|Справочник по геометрии}}
+</box|Рис.5>
+Справедлива и следующая теорема.
+**''Теорема 2.'' Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:**
+  - **накрест лежащие углы равны;**
+  - **соответственные углы равны;**
+  - **сумма односторонних углов равна 180°.**
+''Следствие 2.'' **Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой** (см. рис.2).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:apb_56.png?200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}}
+</box|Рис.2>
+''Замечание.'' Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
+Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
+----
+**Пример 1.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.
+**//Решение.//** Пусть условию отвечает рисунок 6.
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:1_2_---_60.png?200|Подготовка к геометрии ГИА}}
+</box|Рис.6>
+Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
+\\ ∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)
+Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 - х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.
+Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
+\\ х + 30° + х = 180°.
+Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
+\\ ∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° - 75° = 105°.
+----
+**Пример 2.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?
+**//Решение.//** Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.
+<box 120px>
+{{:subjects:geometry:1_2_---_61.png?100|Геометрия для изучения ГИА и ЕГЭ}}
+</box|Рис.7>
+Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.
+Найдем остальные углы (рис. 8):
+<box 120px>
+{{:subjects:geometry:4_3_5_2_8_7_6_1_---_62.png?100|}}
+</box|Рис.8>
+∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° - ∠ 3.
+Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.
+----
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+|[[Определение параллельных прямых|← ]][[Определение параллельных прямых]]^[[subjects:geometry:]]|[[Теорема о сумме углов треугольника]][[Теорема о сумме углов треугольника| →]]|
+^Рекомендуем для обучения:^^^
+|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия