Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/07/26 23:42] ¶ |
subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/10/12 01:51] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | <box right 30%|[[start]]> | ||
+ | * **[[Параллельные прямые]]** | ||
+ | * [[Определение параллельных прямых]] | ||
+ | * **Признаки параллельности двух прямых** | ||
+ | * [[Сумма углов треугольника]] | ||
+ | </box> | ||
+ | ====== Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых ====== | ||
+ | <box 260px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых_55.png?240|Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых}} | ||
+ | Признаки параллельности двух прямых | ||
+ | </box|Рис.1> | ||
+ | **''Теорема 1.'' Если при пересечении двух прямых секущей:** | ||
+ | - **накрест лежащие углы равны, или** | ||
+ | - **соответственные углы равны, или** | ||
+ | - **сумма односторонних углов равна 180°, то** | ||
+ | **прямые параллельны** (рис.1). | ||
+ | |||
+ | Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1. | ||
+ | |||
+ | Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b. | ||
+ | |||
+ | Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны. | ||
+ | |||
+ | ''Следствие 1''. **Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны** (рис.2). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:apb_56.png?200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}} | ||
+ | </box|Рис.2> | ||
+ | |||
+ | ''Замечание.'' Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) | ||
+ | тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Задача 1.** Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:bmpa_57.png?200|Подготовка к геометрии, справочник}} | ||
+ | </box|Рис.3> | ||
+ | Затем проводим через точку М прямую b | ||
+ | перпендикулярно прямой р. Прямая b | ||
+ | параллельна прямой а согласно следствию из | ||
+ | теоремы 1. | ||
+ | |||
+ | Из рассмотренной задачи следует важный вывод: | ||
+ | \\ **через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной**. | ||
+ | |||
+ | Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем. | ||
+ | |||
+ | ''Аксиома параллельных прямых.'' **Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.** | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы. | ||
+ | |||
+ | 1) ''Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую'' (рис.4). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:abmc_58.png?200|Подготовка к геометрии}} | ||
+ | </box|Рис.4> | ||
+ | |||
+ | 2) ''Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны'' (рис.5). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:a-b-c-_59.png?200|Справочник по геометрии}} | ||
+ | </box|Рис.5> | ||
+ | |||
+ | Справедлива и следующая теорема. | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 2.'' Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:** | ||
+ | - **накрест лежащие углы равны;** | ||
+ | - **соответственные углы равны;** | ||
+ | - **сумма односторонних углов равна 180°.** | ||
+ | ''Следствие 2.'' **Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой** (см. рис.2). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:apb_56.png?200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}} | ||
+ | </box|Рис.2> | ||
+ | |||
+ | ''Замечание.'' Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. | ||
+ | |||
+ | Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 1.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Пусть условию отвечает рисунок 6. | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:1_2_---_60.png?200|Подготовка к геометрии ГИА}} | ||
+ | </box|Рис.6> | ||
+ | Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е. | ||
+ | \\ ∠ l + ∠ 2 = 180°. (1) | ||
+ | |||
+ | Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 - х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x. | ||
+ | |||
+ | Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим | ||
+ | \\ х + 30° + х = 180°. | ||
+ | |||
+ | Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е. | ||
+ | \\ ∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° - 75° = 105°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть? | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Пусть условию задачи соответствует рисунок 7. | ||
+ | <box 120px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:1_2_---_61.png?100|Геометрия для изучения ГИА и ЕГЭ}} | ||
+ | </box|Рис.7> | ||
+ | Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°. | ||
+ | |||
+ | Найдем остальные углы (рис. 8): | ||
+ | <box 120px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:4_3_5_2_8_7_6_1_---_62.png?100|}} | ||
+ | </box|Рис.8> | ||
+ | ∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° - ∠ 3. | ||
+ | |||
+ | Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[Определение параллельных прямых|← ]][[Определение параллельных прямых]]^[[subjects:geometry:]]|[[Теорема о сумме углов треугольника]][[Теорема о сумме углов треугольника| →]]| | ||
+ | ^Рекомендуем для обучения:^^^ | ||
+ | |[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]||| |