Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/07/26 23:42]
subjects:geometry:признаки_параллельности_двух_прямых [2013/10/12 01:51] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Параллельные прямые]]**
 +    * [[Определение параллельных прямых]]
 +    * **Признаки параллельности двух прямых**
 +  * [[Сумма углов треугольника]]
 +</​box>​
 +====== Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых ======
 +<box 260px>
 +{{:​subjects:​geometry:​признаки_параллельности_двух_прямых_55.png?​240|Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых}}
  
 +Признаки параллельности двух прямых
 +</​box|Рис.1>​
 +**''​Теорема 1.''​ Если при пересечении двух прямых секущей:​**
 +  - **накрест лежащие углы равны, или**
 +  - **соответственные углы равны, или**
 +  - **сумма односторонних углов равна 180°, то**
 +**прямые параллельны** (рис.1).
 +
 +Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1. 
 +
 +Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например,​ ∠ 4 = ∠ 6. Докажем,​ что а || b.
 +
 +Предположим,​ что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно,​ один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует,​ что ∠ 4 больше ∠ 6, а это ​ противоречит условию,​ значит,​ прямые а и 6 не могут пересекаться,​ поэтому они параллельны.
 +
 +''​Следствие 1''​. **Две различные прямые на плоскости,​ перпендикулярные одной и той же прямой,​ параллельны** (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​apb_56.png?​200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +''​Замечание.''​ Способ,​ которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому,​ что в начале рассуждения делается предположение,​ противное (противоположное) ​
 +тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения,​ мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Задача 1.** Построить прямую,​ проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
 +
 +**//​Решение.//​** Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bmpa_57.png?​200|Подготовка к геометрии,​ справочник}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Затем проводим через точку М прямую b
 +перпендикулярно прямой р. Прямая b
 +параллельна прямой а согласно следствию из 
 +теоремы 1.
 +
 +Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
 +\\ **через точку, не лежащую на данной прямой,​ всегда можно провести прямую,​ параллельную данной**.
 +
 +Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
 +
 +''​Аксиома параллельных прямых.''​ **Через данную точку, не лежащую на данной прямой,​ проходит только одна прямая,​ параллельная данной.**
 +
 +Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых,​ которые следуют из этой аксиомы.
 +
 +1) ''​Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых,​ то она пересекает и другую''​ (рис.4).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abmc_58.png?​200|Подготовка к геометрии}}
 +</​box|Рис.4>​
 +
 +2) ''​Если две различные прямые параллельны третьей прямой,​ то они параллельны''​ (рис.5).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a-b-c-_59.png?​200|Справочник по геометрии}}
 +</​box|Рис.5>​
 +
 +Справедлива и следующая теорема.
 +
 +**''​Теорема 2.''​ Если две параллельные прямые пересечены секущей,​ то:**
 +  - **накрест лежащие углы равны;​**
 +  - **соответственные углы равны;​**
 +  - **сумма односторонних углов равна 180°.**
 +''​Следствие 2.''​ **Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых,​ то она перпендикулярна и к другой** (см. рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​apb_56.png?​200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +''​Замечание.''​ Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную,​ т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.
 +
 +Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные,​ то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно,​ неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными. ​
 +
 +----
 +**Пример 1.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно,​ что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию отвечает рисунок 6.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​1_2_---_60.png?​200|Подготовка к геометрии ГИА}}
 +</​box|Рис.6>​
 +Углы 1 и 2 внутренние односторонние,​ их сумма равна 180°, т. е.
 +\\ ∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)
 +
 +Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 - х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.
 +
 +Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
 +\\ х + 30° + х = 180°.
 +
 +Решая это уравнение,​ получим х = 75°, т. е.
 +\\ ∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° - 75° = 105°.
 +
 +----
 +**Пример 2.** Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно,​ что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи соответствует рисунок 7. 
 +<box 120px>
 +{{:​subjects:​geometry:​1_2_---_61.png?​100|Геометрия для изучения ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.7>​
 +Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие,​ следовательно,​ они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.
 +
 +Найдем остальные углы (рис. 8):
 +<box 120px>
 +{{:​subjects:​geometry:​4_3_5_2_8_7_6_1_---_62.png?​100|}}
 +</​box|Рис.8>​
 +∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные,​ a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° - ∠ 3.
 +
 +Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Определение параллельных прямых|← ]][[Определение параллельных прямых]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Теорема о сумме углов треугольника]][[Теорема о сумме углов треугольника| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/признаки_параллельности_двух_прямых.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:51 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты