Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:параллелограмм

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:параллелограмм [2013/07/26 23:49]
subjects:geometry:параллелограмм [2013/10/12 01:56] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Четырехугольники - Геометрия]]**
 +    * [[Определение четырехугольника]]
 +    * **Параллелограмм**
 +    * [[Диагонали параллелограмма]]
 +    * [[Прямоугольник]]
 +    * [[Ромб]]
 +    * [[Квадрат]]
 +    * [[Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника]]
 +    * [[Трапеция]]
 +    * [[Центральная и осевая симметрии]]
 +    * [[Пропорциональные отрезки]]
 +</​box>​
 +====== Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми ======
 +**Параллелограммом называется четырехугольник,​ у которого противоположные стороны параллельны,​ т. е. лежат на параллельных прямых** (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abcd_73.png?​200|Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми. Геометрия для ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.1>​
  
 +**''​Теорема 1.''​** __О свойстве сторон и углов параллелограмма.__ **В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма,​ равна 180°.**
 +
 +''​Доказательство.''​ В данном параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abcd_3124_74.png?​200|Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +Эти треугольники равны, так как ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых),​ а сторона АС общая. Из равенства Δ ABC = Δ ADC следует,​ что АВ = CD, ВС = AD, ∠ B = ∠ D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне,​ например углов А и D, равна 180° как односторонних при ​ параллельных прямых. Теорема доказана.
 +
 +''​Замечание.''​ Равенство противоположных сторон параллелограмма означает,​ что отрезки параллельных,​ отсекаемых параллельными,​ равны.
 +
 +''​Следствие 1.''​ **Если две прямые параллельны,​ то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой.**
 +
 +''​Доказательство.''​ В самом деле, пусть а || b (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​aabbcd_75.png?​200|Подготовка к ГМА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а. Так как АВ || CD, то фигура ABCD — параллелограмм,​ и следовательно,​ АВ = CD.
 +
 +Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой.
 +
 +По доказанному оно равно длине перпендикуляра,​ проведенного из какой-нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.
 +
 +См. [[Диагонали параллелограмма]]
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.
 +
 +**//​Решение.//​** По теореме 1 противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма через х, другую через у. Тогда по условию ​
 +$$\left\{\begin{matrix}
 +2x + 2y = 122
 +\\x - y = 25
 +\end{matrix}\right.$$
 +Решая эту систему,​ получим х = 43, у = 18. Таким образом,​ стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.
 +
 +----
 +**Пример 2.** Четырехугольник ABCD — параллелограмм с периметром 10 см. Найти диагональ BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bycdax_76.png?​200|Четырехугольник ABCD — параллелограмм с периметром 10 см. Найти диагональ BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.}}
 +</​box|Рис.4>​
 +Обозначим АВ через х, а ВС через у. По условию периметр параллелограмма равен 10 см, т. е. 2(x + у) = 10, или х + у = 5.
 +Периметр треугольника ABD равен 8 см. А так как АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8 - 5 = 3 .
 +Итак, BD = 3 см. 
 +
 +----
 +**Пример 3.** Найти углы параллелограмма,​ зная, что один из них больше другого на 50°.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abcd_x_x_50_77.png?​200|Геометрия для ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.5>​
 +
 +Обозначим градусную меру угла А через х. Тогда градусная мера угла D равна х + 50°.
 +
 +Углы BAD и ADC внутренние односторонние при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD. Тогда сумма этих названных углов составит 180°, т. е.
 +\\ х + х + 50° = 180°, или х = 65°. Таким образом,​ ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.
 +
 +----
 +**Пример 4.** Стороны параллелограмма равны 4,5 дм и 1,2 дм. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части делит она большую сторону параллелограмма?​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 6. 
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abecd_132_78.png?​200|Подготовка по геометрии к ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.6>​
 +АЕ — биссектриса острого угла параллелограмма. Следовательно,​ ∠ 1 = ∠ 2.
 +
 +ВС || AD, АЕ — секущая,​ следовательно,​ ∠ 2 = ∠ 3, т. е. ∠ 1 = ∠ 3. А это означает,​ что [[Свойства равнобедренного треугольника|треугольник ABE равнобедренный]],​ следовательно,​ АВ = ВЕ = 1,2 дм.
 +
 +ЕС = ВС - BE = 3,3 дм. 
 +
 +----
 +**Пример 5.** Прямая АВ параллельна прямой CD (рис.7).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abdc_79.png?​200|Подготовка и обучение к ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.7>​
 +Найти расстояние между этими прямыми,​ если ∠ ADC = 45°, CD = 1,6 см.
 +
 +**//​Решение.//​** Искомое расстояние равно длине перпендикуляра АС. Треугольник ACD — прямоугольный и [[Свойства равнобедренного треугольника|равнобедренный]] (АС — перпендикуляр),​ ∠ ADC = 45° по условию,​ значит,​ и ∠ CAD = 45°, ибо в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно,​ АС = CD = 1,6 см.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Определение четырехугольника|← ]][[Определение четырехугольника]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Диагонали параллелограмма]][[Диагонали параллелограмма| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Диагонали параллелограмма]]|||
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/параллелограмм.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:56 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты