Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:основные_тригонометрические_тождества

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:основные_тригонометрические_тождества [2013/07/27 00:10]
subjects:geometry:основные_тригонометрические_тождества [2013/10/12 02:04] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Теорема Пифагора - Геометрия]]**
 +    * [[Тригонометрические функции острого угла]]
 +    * [[Теорема Пифагора]]
 +    * **Основные тригонометрические тождества**
 +    * [[Значения тригоном. ф. некоторых углов]]
 +    * [[Зависимости прямоугольного треугольника]]
 +    * [[Решение прямоугольных треугольников]]
 +</​box>​
 +====== Основные тригонометрические тождества ======
 +$$ \cos \alpha = \frac{AC}{AB} \ \ \ (1); \ \sin \alpha = \frac{BC}{AB} \ \ \ (2); \ {\rm tg}\, \alpha = \frac{BC}{AC} \ \ \ (3); $$
 +Используя равенства [[тригонометрические_функции_острого_угла|(1),​ (2) и (3)]], имеем: ​
 +$$ \sin \alpha * \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{BC}{AB} * \frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC} = {\rm tg}\, \alpha $$
 +Итак, $$ {\rm tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
 +Соответственно,​ $$ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
 +Получаем:​ $${\rm tg}\, \alpha = \frac{1}{ {\rm ctg}\, \alpha } \ \ \ ; \ \ \ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{1}{ {\rm tg}\, \alpha } $$
 +Эти равенства есть тождества. Они верны для любого острого угла $ \alpha $. 
 +<box 420px>
 +|{{:​subjects:​geometry:​aabc_sin_a_cos_a_tg_a_106.png?​200|sin cos tg}}|{{:​subjects:​geometry:​ab2--ac2_bc2_теорема_пифагора_107.png?​180|теорема Пифагора}}|
 +</​box|Рис.1>​
  
 +Далее, используя определения синуса,​ косинуса и теорему Пифагора (см. рис. 1), находим:​
 +$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{BC^2}{AB^2} + \frac{BC^2}{AB^2} = \frac{BC^2 + AC^2}{AB^2} = \frac{AB^2}{AB^2} = 1 \ \ \ (4)$$
 +
 +Итак, имеем тождество:​
 +$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$
 +Используя тождество (4), получаем: ​
 +$$ 1 + {\rm tg^2}\, \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$
 +Таким образом: ​
 +$$ 1 + {\rm tg^2}\, \alpha = 1 + \frac{1}{{\rm ctg^2}\, \alpha} = \frac{1}{cos^2 \alpha} $$
 +Аналогично выводится тождество:​
 +$$ 1 + \frac{1}{{\rm tg^2}\, \alpha} = 1 + {\rm ctg^2}\, \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha} $$
 +Полученные тождества позволяют,​ зная одну из величин $ \sin \alpha \,, \cos \alpha \,, {\rm tg}\, \alpha \,​\text{и}\,​ {\rm ctg}\, \alpha $ найти другие.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Вычислить значение $\cos \alpha \,и\, {\rm tg}\, \alpha \,\text{, если} \sin \alpha = \frac{1}{2}$
 +
 +**//​Решение.//​**
 +$$ \text{Так как } \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \text{ , то}
 +\\ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin ^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left ( \frac{1}{2} \right ) ^2} = \frac{ \sqrt{3} }{2}
 +\\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 \bullet 2}{2 \bullet \sqrt{3} } = \frac {1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
 +$$
 +----
 +**Пример 2.** Вычислить значения $\sin \alpha \,и\, {\rm tg}\, \alpha \,\text{, если} \cos \alpha = \frac{3}{5} $
 +
 +**//​Решение.//​** Имеем ​
 +$$ \sin \alpha = \sqrt{ 1 - \cos ^2 \alpha } = \sqrt{ 1 - \left ( \frac{3}{5} \right ) ^2 }  = \frac{4}{5}
 +\\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{4 \bullet 5}{5 \bullet 3} = \frac{4}{3} $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Теорема Пифагора|← ]][[Теорема Пифагора]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Значения тригоном. ф. некоторых углов]][[Значения тригоном. ф. некоторых углов| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Тригонометрические функции острого угла]]|||
 +|[[Зависимости прямоугольного треугольника]]|||
 +|[[Решение прямоугольных треугольников]]|||
 +|[[subjects:​mathematics:​Тригонометрические выражения и формулы]]|^[[subjects:​mathematics:​]]|
subjects/geometry/основные_тригонометрические_тождества.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:04 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты