Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:опр.тригонометрических_функций_угла_от_0_до_180

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:опр.тригонометрических_функций_угла_от_0_до_180 [2013/07/27 00:43]
subjects:geometry:опр.тригонометрических_функций_угла_от_0_до_180 [2013/10/12 02:08] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Прямоугольные координаты]]**
 +    * [[Координатная ось]]
 +    * [[Прямоугольная система координат 2D]]
 +    * [[Расстояние между точками]]
 +    * [[Координаты середины отрезка]]
 +    * **Опр.тригонометрических функций угла от 0 до 180°**
 +  * [[Векторы - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180° ======
 +До сих пор значения синуса,​ косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0 до 180°. Возьмем окружность на плоскости хОу с центром в начале координат и радиусом R (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​yyraxxa_xy_117.png?​200|Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°}}
 +</​box|Рис.1>​
  
 +Пусть $\alpha$ — острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — координаты точки А. Значения $\sin \alpha\,, \cos \alpha \,\,и\,\, {\rm tg}\, \alpha$ для острого угла $\alpha$ выражаются через координаты точки А, а именно:​
 +$$ \sin \alpha = \frac{y}{R}
 +\\ \cos \alpha = \frac{x}{R}
 +\\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}
 +$$
 +Определим теперь значения $\sin \alpha\,, \cos \alpha \,\,и\,\, {\rm tg}\, \alpha \text{ для любого угла } \alpha$.
 +(Для ${\rm tg}\, \alpha$ угол $\alpha = 90°$ исключается.) ​
 +Имеем: ​
 +$$ \sin 90° = \frac{R}{R} = 1
 +\\ \cos 90° = \frac{0}{R} = 0 
 +\\ \sin 180° = \frac{0}{R} = 0
 +\\ \cos 180° = -\frac{R}{R} = -1
 +$$
 +Считая,​ что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь:
 +$$ \sin 0° = 0\,\,; \cos 0° = 1\,\,; {\rm tg}\, 0° = 0 $$
 +
 +**''​Теорема 1.''​**
 +  * **//Для любого угла а//, $0° < \alpha < 180°, \sin (180° - \alpha) = \sin \alpha, \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$.**
 +  * **//Для угла а ≠ 90°// ${\rm tg}\, (180° - \alpha) = -{\rm tg}\, \alpha$.**
 +''​Доказательство.''​ Треугольники ОАВ и $ОА_1В_1$ равны по гипотенузе и острому углу (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a1_x1y1_y_a_xy_180-a_aa_xbob1_118.png?​200|Геометрия репетиторство онлайн}}
 +</​box|Рис.2>​
 +Из равенства треугольников следует,​ что $АВ = A_1B_1$ т.е. $у = у_1; ОВ = ОВ_1$, следовательно,​ $х = -х_1$. Поэтому
 +$$ \sin (180° - \alpha) = \frac{y_1}{R} = \frac{y}{R} = \sin \alpha
 +\\ \cos (180° - \alpha) = \frac{x_1}{R} = -\frac{x}{R} = \cos \alpha
 +$$
 +Разделив почленно равенство $\sin (180° - \alpha) = \sin \alpha$ на равенство $\cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем:​ ${\rm tg}\,(180° - \alpha) = -{\rm tg}\, \alpha $.
 +
 +Теорема доказана.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Вычислить:​
 +  - sin 135°
 +  - cos 135°
 +  - tg l50°
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно только что доказанной теореме: ​
 +  - sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45°
 +  - cos 135° = cos(180° - 45°) = -cos 45°
 +  - tg 150° = tg(180° - 30°) = -tg 30°. 
 +$$ \text{Ho } \sin 45° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; \cos 45° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; {\rm tg}\, 30° = \frac{1}{ \sqrt{3} } 
 +\\ \text{Следовательно,​ } \sin 135° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; \cos 135° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; {\rm tg}\, 150° = -\frac{1}{ \sqrt{3} }
 +$$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Координаты середины отрезка|← ]][[Координаты середины отрезка]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Понятие вектора]][[Понятие вектора| →]]|
subjects/geometry/опр.тригонометрических_функций_угла_от_0_до_180.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:08 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты