Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:неравенство_треугольника

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:неравенство_треугольника [2013/07/26 23:45]
subjects:geometry:неравенство_треугольника [2013/10/12 01:53] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Сумма углов треугольника]]**
 +    * [[Теорема о сумме углов треугольника]]
 +    * **Неравенство треугольника**
 +    * [[Расстояние от точки до прямой]]
 +    * [[Равенство прямоугольных треугольников]]
 +</​box>​
 +====== Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника ======
 +**''​Теорема 1.''​ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.**
  
 +''​Доказательство.''​ Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
 +<box 254px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bac_bdac_67.png?​234|Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Докажем,​ что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между  ​
 +точками А и В. Следовательно,​ угол 1 является частью угла С и, значит,​ ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому ​
 +Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом,​ ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует,​ что ∠ С > ∠ В.
 +
 +Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного). ​
 +
 +**''​Теорема 2.''​ В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.**
 +
 +Из теоремы 1 вытекает
 +
 +''​Следствие 1.''​ **Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный** (признак равнобедренного треугольника).
 +
 +Доказательство следствия проводится методом от противного.
 +
 +Из следствия 1 следует,​ что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
 +
 +Из теоремы 2 получаем
 +
 +''​Следствие 3.''​ **В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.**
 +
 +С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
 +
 +**''​Теорема 3.''​ Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.**
 +
 +''​Следствие 4.''​ **Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой,​ справедливы неравенства:​**
 +\\ **АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.**
 +
 +Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Сравнить углы треугольника ABC и выяснить,​ может ли быть угол А тупым, если АВ > ВС > АС.
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно теореме 1 имеем: ∠ C> ∠ A > ∠ B. Угол А тупым быть не может, так как тогда ∠ С тоже тупой и, значит,​ ∠ A + ∠ B + ∠ C > 180°, что невозможно ([[теорема_о_сумме_углов_треугольника]]). ​
 +
 +----
 +**Пример 2.** Сравнить стороны треугольника ABC, если ∠ A > ∠ B > ∠ C. 
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно теореме 1 имеем: ВС > АС > АВ.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 и 2. Чему равна третья сторона?​
 +
 +**//​Решение.//​** Так как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (теорема 3), то третья сторона может быть равной только 6.
 +
 +----
 +**Пример 4.** Одна сторона треугольника равна 1,5, другая — 0,7. Определить третью сторону,​ зная, что она выражается натуральным числом. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим третью сторону треугольника через х. Тогда х < 1,5 + 0,7 = 2,2 (теорема 3). Отсюда,​ учитывая,​ что эта сторона выражается натуральным числом,​ следует,​ что х = 2 или х = 1.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Теорема о сумме углов треугольника|← ]][[Теорема о сумме углов треугольника]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Расстояние от точки до прямой]][[Расстояние от точки до прямой| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Признаки подобия треугольников|3 признака подобия треугольников]]|||
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/неравенство_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:53 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты