Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:geometry:многоугольник [2013/07/27 00:59] ¶ |
subjects:geometry:многоугольник [2013/10/12 02:20] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | <box right 30%|[[start]]> | ||
+ | * **[[Многоугольники. Длина окружности]]** | ||
+ | * [[Ломаная]] | ||
+ | * **Многоугольник** | ||
+ | * [[Правильный многоугольник]] | ||
+ | * [[Длина окружности]] | ||
+ | * [[Длина дуги окружности. Радианная мера угла]] | ||
+ | </box> | ||
+ | ====== Многоугольник ====== | ||
+ | Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Звенья ломаной — стороны, вершины ломаной — вершины многоугольника. Многоугольник с //n// сторонами называется n-угольником. Многоугольником также называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (плоский многоугольник). Периметр | ||
+ | многоугольника — сумма длин его сторон. | ||
+ | Многоугольник называется **выпуклым** (рис.1), если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону. | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:многоугольник_выпуклый_159.png?200|Многоугольник выпуклый }} | ||
+ | \\ Многоугольник выпуклый | ||
+ | </box|Рис.1> | ||
+ | |||
+ | Углы (внутренние) выпуклого многоугольника — это углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу сторон и числу вершин. Среди углов невыпуклого многоугольника имеется хотя бы один угол, больший 180°. | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 1.'' Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°** | ||
+ | |||
+ | ''Доказательство.'' Соединим диагоналями вершину A<sub>1</sub> выпуклого n-угольника (рис.2) с другими вершинами. | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:a1a2a3an-1an_геометрия_160.png?200|Геометрия репетитор онлайн курсы}} | ||
+ | </box|Рис.2> | ||
+ | |||
+ | Получим **n - 2** треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. | ||
+ | Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника **A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> ... A<sub>n</sub>** равна **(n - 2) • 180°** . | ||
+ | |||
+ | Теорема доказана. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 1.** Найти сумму углов выпуклого семиугольника. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** По доказанной теореме искомая сумма равна $(7 - 2)180° = 5 • 180° = 900°$. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 5, 7, 11. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Сумма углов выпуклого пятиугольника равна | ||
+ | $$ (5 - 2) • 180° = 3 • 180° = 540° $$ | ||
+ | Приняв за x меньший из углов, составим уравнение: | ||
+ | $$ x + 3x + 5x + 7x + 11x = 540 $$ | ||
+ | , откуда **x = 20**. Таким образом, углы пятиугольника равны 20°, 60°, 100°, 140°, 220°. | ||
+ | |||
+ | Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. | ||
+ | В этом случае также говорят: «Окружность описана около многоугольника» (рис.3, а). | ||
+ | <box 520px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:вписанная_и_описанная_окружность_161.png?500|вписанная и описанная окружность}} | ||
+ | </box|Рис.3> | ||
+ | |||
+ | Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. | ||
+ | В этом случае также говорят: «Окружность вписана в многоугольник» (рис.3, б). | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[Ломаная|← ]][[Ломаная]]^[[subjects:geometry:]]|[[Правильный многоугольник]][[Правильный многоугольник| →]]| |