Теорема 1.
Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях,
эквивалентны одной паре с вектор-моментом, равным геометрической сумме
вектор-моментов слагаемых пар.
Для доказательства рассмотрим две пары сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})$ и $(\vec{F_1}, \vec{F_2})$, лежащие в плоскостях П1 и П2 соответственно, которые пересекаются по прямой АВ.
Не уменьшая общности можно считать, что плечи этих пар равны отрезку АВ этой прямой. Пусть $\vec{M}(\vec{P_1},\, \vec{P_2}) = \vec{M_1}$ , а $\vec{M}(\vec{F_1}, \vec{F_2}) = \vec{M_2}$ (Рис.1) .
Воспользовавшись аксиомой параллелограмма, получим:
$$((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{F_1}, \vec{F_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{F_1}), (\vec{P_2}, \vec{F_2})) \sim (\vec{R_1}, \vec{R_2})$$
При этом момент результирующей пары с учетом теоремы Вариньона будет равен:
$$\vec{M}(\vec{R_1}, \vec{R_2}) = \vec{M_A}(\vec{R_1}) = \vec{M_A}(\vec{P_1}) + \vec{M_A}(\vec{F_1}) = \vec{M}(\vec{P_1}, \vec{P_2}) + \vec{M}(\vec{F_1}, \vec{F_2}) = \vec{M_1} + \vec{M_2}$$
Теорема доказана.
Следствия:
в пространстве
эквивалентна одной паре с вектор-моментом, равным геометрической
сумме вектор-моментов слагаемых пар: на плоскости
эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической
сумме моментов слагаемых пар: В соответствии с замечанием в конце предыдущего параграфа вектор-момент пары сил в пределах рассматриваемого тела, как в математике, является свободным, поэтому последняя теорема может показаться излишней.
В действительности между векторами в математике и векторами в ТМ продолжает оставаться различие, которое обнаруживается при рассмотрении системы аксиом, которым удовлетворяют векторы в математике и не удовлетворяют вектора сил.