Степенью некоторого числа a с натуральным показателем n (n>1) называется выражение $a^n = \underset{\text{n раз}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}}$ .
Например, $$ 5^3 = \underset{\text{3 пятёрки}}{\underbrace{5•5•5}} = 125; \\ (-2)^4 = (-2)•(-2)•(-2)•(-2) = 16 $$
Свойства степени с натуральным показателем:
Пример 1. Найдите значение выражения: $(-2)^3 • 3^2 + 16^2$.
Решение:
Вначале выполним возведения в степень:
Теперь найдем значение выражения:
$(-2)^3 • 3^2 + 16^2 = (-8)•9 + 256 = 256 - 72 = 184$
Ответ:
184.
Пример 2. Упростите выражение $2x^2\cdot x^3 - х^7 : х^2$.
Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$2x^2\cdot x^3 - x^7:x^2 = 2x^{2 + 3}- x^{7-2} = 2x^5 - x^5 = x^5$
Ответ:
х5.
Пример 3. Упростите выражение $((x^2y)^3)^4$.
Решение: Пользуясь свойствами степеней, имеем:
$((x^2y)^3)^4 = (x^2y)^{3\cdot 4} = (x^2y)^{12} = (x^2)^{12} \cdot y^{12} = x^{2\cdot 12}\cdot y^{12} = x^{24}y^{12} $
Ответ:
x24y12.
Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 - 16\cdot\frac{1}{16}=?$
Видео-решение.
Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$
Видео-решение.