Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) — отрицательное число.
Свойства числовых неравенств:
Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.
Решение системы неравенств с одной переменной - это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Если неравенство имеет вид $f(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot \dots \cdot (x - x_n)>0 (<0)$ , то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками $x_1 x_2, \ldots, x_n$, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ее знак меняется.
Пример 1. Решите неравенства:
1.a) $\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$
1.b) $\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$..
Решение:
1.a | 1.b |
---|---|
$\frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2$. | $\frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2$. |
$$ \frac{4x-1}{2} - x > 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} > 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 > 6x+4 \\ 2x-6x > 4+1 \\ -4x > 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x < -5 \,\,\,\,|:4 \\ x < -\frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}) $$ | $$ \frac{4x-1}{2} - x \geq 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} \geq 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 \geq 6x+4 \\ 2x-6x \geq 4+1 \\ -4x \geq 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x \leq -5 \,\,\,\,|:4 \\ x \leq- \frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}] $$ |
Ответы:
1.a) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4})$
1.b) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4}]$
Пример 2. Решите систему неравенств $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. $$
Решение: $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ x\leq -7 \end{matrix}\right. \text{ - нет решений.} $$ Нельзя одновременно быть меньше -7 и больше -1.
Ответ:
нет решений.
Пример 3. Решите неравенство $3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0$.
Решение: Разложим квадратный трехчлен $3x^2 - x - \frac{5}{4}$ на множители.
Для этого найдем его корни: $D = 1 + 4• 3• \frac{5}{4} = 16$;
$$ x = \frac{1\pm 4}{6}; \\ x_1 = -\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{5}{6} \\ \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} = 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6}) \\ 3x^2 - x - \frac{5}{4} \geq 0 \\ 3(x+\frac{1}{2})(x-\frac{5}{6})\geq 0 $$
Ответ:
$x\in(-\infty;\;-\frac{1}{2}]\cup [\frac{5}{6};\;+\infty)$
Пример 4. Решите неравенство $\frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0$.
Решение: $$ \frac{x^3-x}{x^2-4}\geq 0 \\ \\ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0 $$ Находим, что смена знака происходит, при $x = 0, \pm 1, \pm 2$. При этом помним, что $x \neq \pm 2$, поскольку тогда знаменатель обратиться в ноль, а делить на ноль нельзя.
Ответ:
$x\in(-2;\;-1]\cup [0;\;1]\cup (2;\;+\infty)$.
Пример 5. Под каким номером на каком рисунке верно указано решение системы неравенств? $$ \left\{\begin{matrix} 5x+13 \leq 0 \\ x+5 \geq 1 \end{matrix}\right. $$
Видео-решение: