Корень n-я степени, степень с рациональным показателем и их свойства

Число, n-я степень которого равна a, называется корнем n-й степени из числа $a (n\in\mathbb{N}) и обозначается $\sqrt[n]{a}$.

Неотрицательное число, n-я степень которого равна неотрицательному числу а, называется арифметическим корнем n-и степени из числа а.

Свойства арифметического корня n-й степени:

1. Если $a\geq 0 ; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$
2. Если $a \geq 0; b \geq 0 \text{ , то } \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
3. Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$
4. Если $n,\,k\in,\,a\geq 0\text{ , то } \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Если $a>0\text{ , те }\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{N}\text{ , то }a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{m} $.

Если $m\,,n\in\mathbb{N}\text{ , то }0^{\frac{m}{n}} = 0 $.

Свойства степени с рациональным показателем:

Для любого $a>0\text{ и }p, q\in\mathbb{Q}$:

• $a^pa^q = a^{p+q}$;
• $a^p:a^q = a^{p-q}$;
• $(a^p)^q = a^{pq}$;

Для любых a>0, b>0 и $p\in\mathbb{Q}$:

• $(ab)^p = a^p\cdot b^p$;
• $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$.

—- Пример 1. Найдите значение выражения $\sqrt[3]{8\cdot 0,001} \cdot \sqrt[5]{\frac{243}{32}}$

Решение:
$\sqrt[3]{8\cdot 0,001} \cdot \sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{0,001}\cdot\frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = 2\cdot0,1\cdot\frac{3}{2} = 0,3$

Ответ: 0,3

Пример 2. Упростите выражение $((a^{-0,4}b^{0,2})^5\cdot a^2b)^\frac{1}{3}$

Решение:
$((a^{-0,4}b^{0,2})^5\cdot a^2b)^\frac{1}{3} = ((a^{-0,4})^5\cdot(a^{0,2})^5\cdot a^2b)^{\frac{1}{3}} = (a^{-2}\cdot b\cdot a^2b)^{\frac{1}{3}} = (b^2)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $b^{\frac{2}{3}}$