Натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4, …, которые употребляются при счете. Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$.
Целые числа - это натуральные числа, противоположные им числа и число нуль (…, - 4, - 3, - 2, - 1, О, 1, 2, 3, 4, …). Множество целых чисел обозначается $\mathbb{Z}$.
Рациональные числа - это целые и дробные числа. Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$.
Всякое рациональное число может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n} \text{, где }m \in \mathbb{Z} \,, m \in \mathbb{Q} («\in»$ - знак принадлежно-п сти некоторому множеству).
Всякое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби, и обратно: всякая бесконечная десятичная периодическая дробь есть некоторое рациональное число.
Однако рациональные числа - не все числа. Например, число, квадрат которого равен 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1) не является рациональным.
Бесконечные десятичные непереодические дроби называют иррациональными числами.
Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначают $\mathbb{R}$ .
Квадратный корень из числа а - это число, квадрат которого равен а. Например, «4» и «-4» - квадратные корни из 16, т.к. $4^2 = (-4)^2 = 16$.
Арифметический квадратный корень из числа a - это неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа a обозначают $\sqrt{a}$.
Например, $\sqrt{25} = 5\text{, т.к. }5\geq 0$ и $5^2 = 25; \sqrt{0}=0\text{ , т.к. }0\geq 0\text{ и }0^2 = 0$.
То есть, $\sqrt{a} = b\text{ , если }b \geq 0 и b^2 = а$.
Так как квадрат любого числа - неотрицательное число, то при а<0 выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла.
В зависимости от a уравнение $х^2 = а$:
Свойства арифметического квадратного корня:
Пример 1. Найдите значение выражения $(\sqrt{36}\cdot\sqrt{0,01} - \sqrt{0,04}\cdot\sqrt{25})^2$
Решение:
$(\sqrt{36}\cdot\sqrt{0,01} - \sqrt{0,04}\cdot\sqrt{25})^2 = (6\cdot0,1 - 0,2\cdot5)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$
Ответ:
0,16.
Пример 2. Решите уравнение $x^2 = 3^2 + \sqrt{256}$.
Решение:
$х^2 = 9 + 16 = 25$;
$x = ±\sqrt{25} = ±5$.
Ответ:
±5 .
Пример 3. Найдите значение выражения $\sqrt{32\cdot 18\cdot 81}$ .
Решение:
$\sqrt{32\cdot 18\cdot 81} = \sqrt{16\cdot 2\cdot 18 \cdot 81} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{36}\cdot\sqrt{81} = 4\cdot 6\cdot 9 =216$
Ответ:
216.
Пример 4. Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{8\cdot 36}{18}}$
Решение:
$\sqrt{\frac{8\cdot 36}{18}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4\cdot 36}{2\cdot 9}} = \sqrt{\frac{4\cdot 36}{9}} = \frac{\sqrt{4\cdot 36}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4}\cdot\sqrt{36}}{3} = \frac{2\cdot 6}{3} = 4$
Ответ:
4
Пример 5. Упростите выражение $(\frac{\sqrt{75}-x}{x^2-75}+x+5\sqrt{3}):(x^2+10\sqrt{3}\cdot x+74)$
Решение:
Ответ:
$\frac{1}{x+5\sqrt{3}}$