Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на одно и то же число.

b₁ – первый член геометрической прогрессии
q – знаменатель геометрической прогрессии (q≠0): $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
n – число членов геометрической прогрессии
b_n – n-ый член геометрической прогрессии (b_n≠0)
S_n – сумма n первых членов геометрической прогрессии

• $b_n = b_1q^{n-1};$
• $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\,\,\,,\,(q\neq 1);$
• $S_n = nb_1 \,\,\,,\,(q = 1);$
• $b_k^2 = b_{k-1}\cdot b_{k+1}\,\,\,,\,k=2,3, \dots ,n-1;$
• $b_k\cdot b_m = b_p\cdot b_q\text{ , где }k+m=p+q;$

Если $|q|<1$, то прогрессия называется бесконечной геометрической прогрессией и ее сумма равна: $S = \frac{b_1}{1-q}$

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если ее второй член равен - 2, а седьмой равен 64.

Решение. $$\frac{b_7}{b_2} = \frac{b_1\cdot q^6}{b_1\cdot q} = q^5 = \frac{64}{-2} = -32 \Rightarrow q = -2.$$

Ответ: -2.

Пример 2. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии: 5, 10, 20, …;

Решение: Для решения данного примера необходимо было применить формулу суммы 7 первых членов геометрической прогрессии: $$ b_1 = 5; q = 2.\text{ т.к. }S_7 = \frac{b_1(1-q^7)}{1-q}\text{ , то} \\ S_7 = \frac{5\cdot(1-2^7)}{1-2} = -5(1-128) = 635. $$

Ответ: 635.

Пример 3. решите уравнение $x^2 - x = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$

Решение: Правая часть — бесконечная геометрическая прогрессия с $q = -\frac{1}{3}$.

Поэтому имеем: $$ x^2-x = \frac{1}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}. \\ x^2-x-\frac{3}{4}=0; \\ D = 1+4\cdot \frac{3}{4} = 4; \\ x = \frac{1\pm 2}{2};\; x_1=-\frac{1}{2};\; x_2=\frac{3}{2}. $$

Ответ: $-\frac{1}{2};\frac{3}{2}$.