Определенный интеграл. Основные формулы

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке $ $ называется предел интегральных сумм:

$$ $$

Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке $ $. Всякая непрерывная функция интегрируема.

Формулой Ньютона -Лейбница называется формула

$$ $$,

где f(x) - одна из первообразных для функции f(x), т.е.

$$ $$

Замечание. вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона- Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения. Эта формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке $ $ функции f(x) лишь тогда, когда равенство $ $ выполняется на всем отрезке $ $(F(x)- первообразная функции f(x)). В частности, первообразная обязана быть непрерывной функцией на всем отрезке $ $. Использование в качестве первообразной разрывной функции может привести к неверному результату.

Если функция $ $ удовлетворяет следующим условиям:

1) $ $- непрерывная однозначная функция, заданная на отрезке $ $ и имеющая в нем непрерывную производную $ $;

2) значения функции $ $ при изменении t на отрезке $ $ не выходят за пределы отрезка $ $;

3) $ $ и $ $,

то для любой непрерывной на отрезке $ $ функции f(x) справедлива формула замены переменной (или подстановки) в определённом интеграле

$$ $$.

Видео урок :Определенный интеграл. Основные формулы.